درباره خطی بودن واریانس بر حسب زمان برای پرواز لوی قطع شده از دیدگاه تئوری مجموعههای گیبس

پروازلوی دسته ای از فرایندهای تصادفی است که در آن طول هر پرش از تابع توزیع احتمال لوی پیروی می کند. در بسیاری از تحقیقات صورت گرفته بر روی پرواز لوی از آن به عنوان مدلی مناسب برای ابر نفوذ یاد شده است. در این رساله به بررسی رفتار میانگین مجذور فاصله بر حسب زمان در پرواز لوی قطع شده با استفاده از روشهای عددی و تحلیلی پرداخته ایم. در رویکرد عددی، شبیه سازی پرواز لوی قطع شده را انجام دادیم و نتایج، رابطه خطی میان میانگین مجذور فاصله و زمان در پرواز لوی قطع شده در فضای گسسته و پیوسته نشان دادند. ما به تجزیه و تحلیل جنبه های مختلف این خطی بودن پرداختیم و نشان دادیم که مقدار ماکزیمم طول پرش، اگرچه در مقدار ضریب نفوذ موثر است اما تاثیری بر خطی بودن رابطه میان میانگین مجذور فاصله و زمان ندارد. همچنین نشان دادیم که رابطه میان میانگین مجذور فاصله و زمان در مراحل زمانی مختلف خطی می ماند. بعلاوه نشان داده شده است که تعداد نمونه ها نیز تاثیری بر این رابطه ندارد. در نهایت نشان دادیم که رابطه غیر خطی میان میانگین مجذور فاصله و زمان در پرواز لوی قطع شده زمانی بدست می آید که از میانگین گیری زمانی به جای میانگین گیری مجموعه ای استفاده کنیم. تفاوت نتایج میان میانگین گیری زمانی و میانگین گیری مجموعه ای نشان می دهد که ممکن است پرواز لوی فرایندی غیر ارگودیک باشد. در رویکرد تحلیلی، ما یک حل تحلیلی جدید برای رابطه میانگین مجذور فاصله در قدم زنی تصادفی یک بعدی و دو بعدی با طول پرش محدود ارائه دادیم و نشان دادیم برای قدم زنی تصادفی با طول پرش محدود، میانگین مجموعه ای مجذور فاصله و زمان رابطه خطی دارند. این نتیجه به شکل تابع توزیع طول پرش بستگی ندارد اما ضریب نفوذ به شکل تابع توزیع طول پرش بستگی دارد. پرواز لوی قطع شده به عنوان نمونه خاصی از این مدل در نظر گرفته شده است و ضریب نفوذ برای مقادیر متفاوت از ماکزیمم طول محاسبه شده است که این نتایج توافق خوبی با نتایج بدست آمده از شبیه سازی نشان می دهند.